Với m = 1 ta được hàm số: y = 2 x 2 + 2 x

- TXĐ: D = R,

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 4x + 2

y' = 0 ⇔ x = -1/2

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1/2), đồng biến trên (-1/2; +∞).

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (-1/2; -1/2)

- Đồ thị:

Ta có: 2x2 + 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) = 0

⇒ x = 0; x = -1

+ Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0)

+ Giao với Oy: (0; 0)

Với m = 0, hàm số trở thành: 

- TXĐ: D = R \ {1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Giao điểm với Ox: (-1; 0)

+ Giao điểm với Oy: (0; -1)

y =  1 3 x 3 - m - 1 x 2 + m - 3 x + 4 1 2

    +) Tập xác định: D = R

    +) Sự biến thiên: y’ = x 2  + 2x – 3

y' = 0 

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞ ; -3) và (1; + ∞ ), nghịch biến trên khoảng (-3; 1).

Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y CD  = 27/2;  y CT  = 17/6 khi x = 1

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 9/2) và có dạng như hình dưới đây.

y′′ = 2x + 2; y′′ = 0 ⇔ x = −1. Vậy là tâm đối xứng của đồ thị.

Xét hàm số y = 2 x 2 + 2 m x + m - 1

y' = 4x + 2m = 2(2x + m)

y' = 0 ⇒ x = -m/2

Ta có bảng xét biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta thấy :

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞)

- Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; +∞)

a) y = x 4  – 2 x 2

y′ = 4 x 3  – 4x = 4x( x 2  – 1)

y′ = 0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Đồ thị

b) y′ = 4 x 3  – 4mx = 4x( x 2  – m)

Để (Cm) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và y C T  = 0.

    +) Nếu m ≤ 0 thì  x 2  – m ≥ 0 với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.

    +) Nếu m > 0 thì y’ = 0 khi x = 0; x =  m  hoặc x = - m .

f(√m) = 0 ⇔ m 2  – 2 m 2  + m 3  –  m 2  = 0 ⇔  m 2 (m – 2) = 0 ⇔ m = 2 (do m > 0)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Với m = 2 ta có hàm số 

- Tập xác định : D = R\{-1}.

- Sự biến thiên :

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞).

+ Cực trị : hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận :

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

⇒ x = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên :

- Đồ thị :

a) . Tập xác định : R {} ;

và ;

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận đứng ∆ : x = .

A(-1 ; ) ∈ ∆ ⇔ = -1 ⇔ m = 2.

c) m = 2 => .

y = 4 x 3  + x, y′ = 12 x 2  + 1 > 0, ∀ x ∈ R

Bảng biến thiên:

Đồ thị: